Schur分解

Schur Decomposition Schur 分解

Schur 分解把任意复方阵酉相似到上三角矩阵。对任意

A \in C^{n \times n},

都存在列向量标准正交的酉矩阵 $Q$ 和上三角矩阵 $T$ ，使得

A = Q T Q^{- 1} = Q T Q^{H}, Q^{- 1} = Q^{H} .

等价地，

Q^{H} A Q = T .

这里 $Q = [q_{1}, \dots, q_{n}]$ 满足 $q_{i}^{H} q_{j} = δ_{i j}$ 。Schur 分解只要求 $A$ 是方阵，不要求 $A$ 可对角化。

存在性、唯一性与域

复 Schur 分解对任意复方阵都存在，因为复数域中每个特征多项式都有根，归纳构造总能从一个特征向量开始。实方阵若允许复酉矩阵，也可直接使用复 Schur 分解；若要求所有矩阵保持实数，则得到实 Schur 形式，矩阵不再完全上三角，而是准上三角，非实共轭特征值以 $2 \times 2$ 实块出现。

Schur 分解一般不唯一。对角线上特征值的顺序可以通过酉相似变换重新排列；重复特征值对应的不变子空间也有基选择自由。真正唯一的是特征值的多重集合，以及在给定排序和不变子空间选择后得到的三角化结构。若 $A$ 正规，则上三角因子被迫退化为对角矩阵，此时 Schur 分解成为谱分解。

三角形式

$T$ 是上三角矩阵：

T = [\begin{matrix} t_{11} & t_{12} & \dots & t_{1 n} \\ 0 & t_{22} & \dots & t_{2 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & \dots & 0 & t_{n n} \end{matrix}] .

因为相似变换保持特征值，而上三角矩阵的特征值就是对角线元素，所以

t_{11}, t_{22}, \dots, t_{n n}

正是 $A$ 的特征值，按代数重数重复出现。换句话说，Schur 分解总能把谱信息放到对角线上，即使矩阵没有足够多特征向量而无法对角化。

构造思想

Schur 分解的证明可以用归纳理解。任意复方阵至少有一个特征值 $λ_{1}$ 和单位特征向量 $q_{1}$ 。把 $q_{1}$ 扩展成 $C^{n}$ 的一组标准正交基，得到酉矩阵

Q_{1} = [q_{1}, q_{2}, \dots, q_{n}] .

由于 $A q_{1} = λ_{1} q_{1}$ ，矩阵 $Q_{1}^{H} A Q_{1}$ 的第一列在第一行以下全为 $0$ ：

Q_{1}^{H} A Q_{1} = [\begin{matrix} λ_{1} & * \\ 0 & A_{1} \end{matrix}] .

再对右下角的 $(n - 1) \times (n - 1)$ 方阵 $A_{1}$ 重复同样过程，就得到完整的上三角 $T$ 。这个构造说明 $Q$ 的前 $k$ 列张成一个 $A$ 的不变子空间，而不必每一列都单独是 $A$ 的特征向量。

这个“不变子空间链”是 Schur 分解区别于对角化的关键。对角化要求每个坐标轴都是一维不变子空间；Schur 分解只要求前 $k$ 个坐标轴张成的子空间整体不变。因此即使矩阵只有一个特征向量方向，也仍可被放入上三角坐标系中。

与对角化

若 $A$ 可对角化，则存在可逆矩阵 $X$ 使

A = X Λ X^{- 1} .

Schur 分解比它更普遍，因为 $Q$ 总可取为酉矩阵，但 $T$ 只保证是三角矩阵，不保证是对角矩阵。

当 $A$ 是正规矩阵时，Schur 分解进一步变成谱分解。若

A = Q T Q^{H}

且 $A^{H} A = A A^{H}$ ，则 $T$ 也满足

T^{H} T = T T^{H} .

一个上三角正规矩阵只能是对角矩阵，所以

T = Λ, A = Q Λ Q^{H} .

因此正规矩阵恰好是那些能被酉矩阵对角化的矩阵。一般非正规矩阵的 $T$ 会保留非零上三角项，它们表示特征方向之间无法用正交基完全分离的部分。

与 Jordan 形式

Jordan矩阵也适用于任意复方阵，但它使用一般可逆矩阵和广义特征向量：

A = B J B^{- 1} .

Jordan 形式更接近代数分类，却对扰动很敏感；Schur 分解使用酉相似变换，保持长度与内积，数值上更稳定。实际计算特征值时，通常更偏向 Schur 形式，而不是直接追求 Jordan 形式。

若 $A$ 不可对角化，Schur 分解仍然存在。例如 Jordan 块

J = [\begin{matrix} λ & 1 \\ 0 & λ \end{matrix}]

本身已经是上三角 Schur 形的一种，但它不能被相似到对角矩阵。Schur 分解的优势正是在这里：它不把不可消除的耦合隐藏起来，而是放在上三角区域。

数值算法语义

QR 特征值算法可以看作逐步逼近 Schur 形式。先分解

A_{k} = Q_{k} R_{k},

再反转因子得到

A_{k + 1} = R_{k} Q_{k} = Q_{k}^{- 1} A_{k} Q_{k} .

每一步都是相似变换，所以特征值不变；在合适条件与移位策略下，矩阵会逐渐接近上三角形式，特征值显现在对角线上。

使用酉或正交矩阵的原因是数值稳定：酉相似变换不改变二范数长度，也不放大正交关系。对大型稀疏矩阵，常先化为 Hessenberg 形式，再做 QR 迭代，以降低每步成本。

边界上，Schur 分解不会消除非正规耦合，而是把它压到上三角的非对角区域。若特征值高度重合， $T$ 的对角线信息可能不足以揭示几何重数，必须结合上三角部分或转向 Jordan 理论理解缺失的特征向量。数值算法中通常接受 Schur 形式作为稳定终点，而不继续追求对扰动敏感的 Jordan 块。

实矩阵情形

若实矩阵允许使用复数酉矩阵，也适用同一个 Schur 分解。若坚持所有矩阵都为实数，则实 Schur 形式通常是准上三角矩阵：实特征值对应 $1 \times 1$ 块，成对复特征值对应 $2 \times 2$ 块。这样可以在实数计算中保留复共轭特征值的信息。

相邻概念

相似矩阵解释了为什么 $A$ 与 $T$ 有相同特征值。酉矩阵保证 Schur 分解中的换基稳定且保持内积。正规矩阵是 Schur 分解退化为酉对角化的精确条件。矩阵对角化是三角化在有足够特征向量时的更强形式，而 Schur 分解是任意方阵都可达到的稳定标准形。